Bonsoir, je suis en Terminale S et j'ai un exercice type Bac sur l'étude de fonction. Vous pourriez m'aider ? On considère la fonction [tex]f[/tex] définie sur

Bonjour,
 
1) Dans ce type de question, voici la méthode : on dérive la fonction, puis on étudie le signe de la dérivée et ensuite on en déduis les variations de la fonction g
[tex] g(x) = x^2-1+ln(x)\\\\ g'(x) = 2x+ \frac{1}{x}\\\\ g'(x) = \frac{2x^2+1}{x} \ \ \ \ \ x \neq 0 [/tex]
 
Ensuite on trace le tableau de variation (cf fichier joint)
 [tex] \lim_{x \to 0} x^2-1+ln(x) = 0^2-1+ln(0) = 0\\\\ \lim_{x \to \infty} x^2-1+ln(x) = +\infty [/tex]
 D'après le tableau de variation on en déduit que sur [1 ; +∞[ , g(x) > 0
 
2a)
[tex]f(x) = x- \frac{ln(x)}{x}\\\\ f'(x) = 1 - \frac{ \frac{1}{x}\times x+ln(x)\times 1 }{x^2} \\\\ f'(x) = 1- \frac{1+ln(x)}{x^2}\\\\ f'(x) = \frac{x^2-1+ln(x)}{x^2}\\\\ f'(x) = \frac{g(x)}{x^2} [/tex]
 
2b)
 g(x) > 0 et x² > 0 donc f'(x) > 0. Par conséquent, f est strictement croissante sur [1 ; +∞[

2c)
 Pour savoir si y = x est une asymptote, il suffit de regarder si la limite en +∞ de [tex]f(x) -x = 0[/tex]
 [tex] \lim_{x \to \infty} f(x) -x= \lim_{x \to \infty} - \frac{ln(x)}{x} = - \lim_{x \to \infty} \frac{ln(x)}{x}=0 [/tex]
 Par conséquent D : y = x est une asymptote à la courbe C
 
2d)
 On cherche quand est-ce que f(x) > x
[tex]- \frac{ln(x)}{x} >0\\\\ \frac{ln(x)}{x} <0 [/tex]
 
ceci est vrai pour tout x ∈ [1 ; +∞[. Par conséquent, la courbe C est en dessous de la droite D sur [1 ; +∞[