Bonsoir ! Pouvez vous m'aidez ? :/ Sois f la fonction définie sur IR par f(x) = 2/1+x² Résoudre l'inéquation f(x) < 8/5 ? :/

Salut, 
voici une méthode pour résoudre ce type d'inéquation :
On commence par multiplier les deux côtés de l'inéquation par la quantité [tex]1+ x^{2} [/tex] ce qui est valable pour tout x réel. 
Deux choses sont à vérifier lorsqu'on réalise cette opération : 
- l'inégalité change t'elle de signe 
- existe t'il des valeurs interdites qu'il faut spécifier 

Premièrement le signe de l'inégalité de change pas car la quantité [tex]1+ x^{2} [/tex] est positive pour tout x réel. Donc en multipliant par une quantité positive, on ne modifie pas le sens de l'inégalité.

Deuxièmement, il n'y as pas de valeur interdite car il n'existe pas de réel x tels que [tex]1+ x^{2} =0[/tex].

Donc on obtient que :
[tex]f(x) < \frac{8}{5} [/tex] ⇔  [tex]2 < \frac{8}{5}(1+ x^{2} ) [/tex] pour tout x réel.

On peut tout mettre du même côté pour obtenir : 
[tex]\frac{8}{5} x^{2} - \frac{2}{5} > 0   [/tex]  pour tout réel x. 
On peut résoudre cette inéquation en étudiant l'expression de gauche comme un polynôme de degré deux, étudier ces racines etc. 
Ou on peut directement faire ce qui suit : 
[tex]\frac{8}{5} x^{2} - \frac{2}{5} > 0   [/tex] ⇔ [tex]\frac{8}{5} x^{2} > \frac{2}{5}  [/tex] ⇔[tex]x^{2} > \frac{1}{4}  [/tex] pour tout x réel. 

On peut ensuite conclure en utilisant les connaissances de la fonctions carrées, on a donc : 
[tex]x^{2} > \frac{1}{4}  [/tex] ⇔ [tex]  x > \frac{1}{2}  [/tex] ou [tex]  x < - \frac{1}{2}  [/tex]. Donc l'ensemble solution est ]-∞;-1/2[U]1/2;+∞[.

Voilà, n'hésite pas si tu as d'autres questions.