Un industriel doit fabriquer une boîte fermée de volume 1dm3 (cube) ayant la forme d'un parallélépipède rectangle de hauteur y et dont la base est un carré de c
Mathématiques
Nicomidas
Question
Un industriel doit fabriquer une boîte fermée de volume 1dm3 (cube) ayant la forme d'un parallélépipède rectangle de hauteur y et dont la base est un carré de côté x>0. L'unité de longueur est le décimètre.
1) justifier que y=1/x2 (carré).
2) en déduire que l'aire totale de la boîte est : s(x) = 2x2(carré) + 4/x
3) montrer que pour x>0,
S'(x)= 4(x-1)(x2(carré)+x+1)/x2(carré)
4a) en déduire le sens de variation de S sur ]0;+00[.
4b) donner les dimensions de la boîte d'aire minimale.
Merci énormément a celui qui y répond !!!
1) justifier que y=1/x2 (carré).
2) en déduire que l'aire totale de la boîte est : s(x) = 2x2(carré) + 4/x
3) montrer que pour x>0,
S'(x)= 4(x-1)(x2(carré)+x+1)/x2(carré)
4a) en déduire le sens de variation de S sur ]0;+00[.
4b) donner les dimensions de la boîte d'aire minimale.
Merci énormément a celui qui y répond !!!
1 Réponse
-
1. Réponse isapaul
Bonsoir
1)
Volume boîte = 1 dm³
ayant aire base = x² et hauteur = y
on obtient
x²y = 1 =====> y = 1/x² ce qu'il fallait démontrer
2)
Aire dessus = aire dessous = x²
aire côtés = xy
Aire totale = aire dessus + aire dessous + 4 * aire côté
Aire totale = 2x² + 4xy comme on sait que y = 1/x² on remplace et on obtient
Aire totale = 2x² + 4x( 1/x²)
Aire totale = 2x² + 4/x ce qu'il fallait démontrer
3)
la dérivée sera
S ' (x) = (4x³ - 4)/x²
on développe
s ' (x) = 4(x-1)(x² + x + 1) / x²
s ' (x) = 4( x³ + x² + x - x² - x - 1) / x²
S ' (x) = (4x³ - 4) / x²
4a)
Tableau
x 0 1 +oo
(x-1) négatif 0 positif
(x²+x+1) positif positif
S ' (x) II négative 0 positive
S(x) II décroissante 6 croissante
b)
S ' (x) = 0 revient à 4(x-1)(x²+x+1) = 0 seulement pour x = 1
Surface minimale : S(1) = 6
Bonne soirée